Дмитрий Дмитриевич Погодин родился в с. Наро-Фоминск (сейчас город в Московской области) 11 сентября 1907 года (эта дата указана в большинстве источников, а также в его послужном списке; но на надгорбном памятнике написана дата рождения - 2 сентября).
Из рабочей семьи. Окончил Орловскую бронетанковую школу (1932), курсы усовершенствования технического состава моторизованных войск (1934), Военную академию им. М. В. Фрунзе (1939).
В 1936–1937 гг. Д. Д. Погодин находился в республиканской Испании, где в это время шла Гражданская война. Командир танковой роты 1-го танкового батальона 4-й отд. механизированной бригады лейтенант Погодин отличился в боях под г. Посуэло де Аларкон. Его рота атаковала противника и уничтожила 9 фашистских танков. Рота Погодина не раз помогала пехоте возвращать оставленные ею позиции.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1936 г. за доблесть и мужество, проявленные в боях в Испании Погодину Дмитрию Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина, а после учреждения в 1939 г. знака особого отличия героев ему была вручена медаль «Золотая Звезда» № 26.
В 1937 Погодин был избран членом Центрального комитета Коммунистической партии Белоруссии. В 1939 г. полковник Погодин участвовал в боевых действиях против Польши. Участвовал в Советско-финляндской войне 1939–1940 гг.
В годы Великой Отечественной войны 1941–1945 гг. Дмитрий Дмитриевич Погодин оборонял Заполярье в составе войск Северного фронта (командир 1-го танкового полка 1-й танковой дивизии); Ленинград в составе войск Ленинградского фронта (зам. командира 123-й танковой бригады); Москву (командир108-й танковой бригады, зам. начальника отдела автобронетанковых войск 30-й армии). Участвовал в Великолукской наступательной операции (зам начальника управления автобронетанковых войск Калининского фронта); в Ржевско-Вяземской операции, в Курской битве (зам. командира 1-го механизированного Красноградского корпуса по строевой подготовке).
Герой Советского Союза, полковник Д. Д. Погодин погиб в бою у села Перекоп под Харьковом 13 сентября 1943 г., лично участвуя в танковой атаке в решающий момент сражения. Обожжёное тело убитого командира на руках вынес из боя механик-водитель его сгоревшего танка старшина А. А. Горелышев. Дмитрий Дмитриевич Погодин так и не узнал о присвоении ему звания генерал-майора и о награждении его орденом Красного Знамени.
Тело героя было привезено во Владимир, где в это время жила его семья. Первоначально Герой был захоронен в центре города, в сквере близ памятника В. И. Ленину, впоследствии перезахоронен на Князь-Владимирском кладбище.
В 1951 г. одной из улиц города Владимира было присвоено имя Героя Советского Союза Дмитрия Дмитриевича Погодина.
В мае 2010 г. на воинском Мемориале на площади Победы в г. Владимире установлена стела с бронзовым барельефом Д. Д. Погодина.