Родился 3 октября 1978 года в Узбекистане. В 1995 окончил школу №1 в г. Костерёво Петушинского района Владимирской области. Далее И. А. Багров решил продолжить семейную традицию и поступил в Нижегородское военное училище. Позже перевёлся в филиал Академии Тылы и транспорта в Саратовской области. Учёба дала ему возможность начать карьеру, связанную с космическими войсками.
Служба И. А. Багрова началась на космодроме Плесецк, где он проработал почти 20 лет. Там он прошёл путь от лейтенанта до майора. За вклад в развитие закрытого города Мирного он был отмечен множественными наградами. Позже его перевели в штаб космических войск в Москве, где он получил звание подполковника.
Когда началась специальная военная операция, Игорь Александрович, несмотря на уговоры родных и свое подорванное здоровье, добровольно пошел в военкомат.
В августе он получил повестку и ушёл служить. А в конце осени его отправили «за ленточку». Вскоре И. А. Багров стал заместителем командира и начальником тыла в первом танковом полку. Он был единственным кадровым офицером на тот момент. Коллеги отмечали его ответственность, трудолюбие и уважение к подчинённым. Игорь с полной отдачей и ответственностью исполнял свой воинский долг!
15 июля 2024 года, спустя два года службы, Игорь Александрович погиб при выполнении боевой задачи.
За мужество и героизм, проявленные в ходе специальной военной операции, Багрову Игорю Александровичу был посмертно присвоен орден Мужества. Государственная награда была вручена отцу героя Александру Васильевичу Багрову в Петушинском районном Доме культуры Владимирской области.
20 февраля 2025 года во дворе костерёвской школы № 1 прошёл митинг в честь открытия мемориальной доски в память об Игоре Александровиче Багрове.
