Родился 9 мая 1990 года в посёлке Андреево Судогодского района Владимирской области.
В 2007 году Алексей поступил в Рязанское гвардейское высшее воздушно–десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова, в 2012-м успешно его окончил. Позднее Алексей был назначен на должность командира парашютно-десантного взвода, 137-го гвардейского парашютно–десантного полка г. Рязань. В 2014 году он стал командиром разведывательного взвода, а в 2015-м – заместителем командира разведывательной роты. Прошёл курс обучения в Центре горной подготовки и выживания ЦСКА МО РФ, совершил восхождения на вершины, за что получил значок «Альпинист России».
За выполнение специальных задач был награжден медалью «За ратную доблесть» (2015), знаком отличия Министерства обороны РФ «За службу в военной разведке воздушно–десантных войск» (2016), медалью ордена «За заслуги перед Отечеством II степени» (2018, Сирийская Арабская Республика).
В феврале 2020 года Алексей Курганов участвовал в масштабном комбинированном марш-броске «Тула–Смоленск», в честь 75–летия Победы в Великой Отечественной войне и 90-летия со дня образования ВДВ. В июне того же года был назначен на должность командира разведывательной роты с присвоением очередного воинского звания «капитан».
В военной операции на Украине Алексей участвовал с первого дня. Под его руководством 24 февраля 2022 года был обеспечен беспрепятственный переход государственной границы, входе которого был захвачен мост через реку Припять, предотвращена попытка его уничтожения противником. В ходе ведения дальнейшей разведки в направлении аэродрома Гостомель своевременно вскрылись элементы боевого порядка и огневые средства противника.
Он лично проводил разведку в ходе выполнения задач по освобождению занимаемых националистическими подразделениями населенных пунктов по маршрутам выдвижения передового пункта управления и основных сил 106–й гвардейской воздушно–десантной дивизии.
В составе подразделений дивизии Алексей Курганов выполнял специальную задачу по зачистке стратегически важного населенного пункта Ирпень Киевской области. В ходе проведения операции умело и грамотно командовал разведывательной ротой 137-го гвардейского парашютно–десантного полка. В результате проведения разведывательных и специальных действий подразделение под его командованием обнаружило и уничтожило два САУ2С3, захватило и в течение двух дней удерживало укрепленный район войск территориальной обороны, контролирующий трассу Ирпень–Киев. При проведении операции разведывательной ротой полка было уничтожено более 40 боевиков, семь из которых – лично капитаном Кургановым.
Алексей Курганов погиб 7 марта 2022 года.
О деталях последней спецоперации Алексея сказано по-военному четко и лаконично:
«В ходе проведения освобождения Ирпени от националистических подразделений разведывательная рота под командованием капитана Курганова обнаружила важные разведывательные документы, раскрывающие информацию о сотрудниках специальных служб противника. Удалось своевременно выявить и избежать больших потерь среди личного состава. В этом бою офицер Курганов был ранен и, прикрывая своих, погиб смертью храбрых».
Похоронен военнослужащий на своей родине, в посёлке Андреево Судогодского района.
Посмертно А. С. Курганову было присвоено звание Героя России. В апреле 2022 года его семье вручили Звезду Героя России. В июле того же года Андреевской средней общеобразовательной школе, которую окончил Алексей Курганов, присвоили его имя. В сентябре 2022 года прошла церемония открытия мемориальной доски в честь героя-выпускника.
Отныне в Судогодском районе к именам десяти Героев Советского Союза прибавилось имя Героя России Алексея Курганова.