Родился 28 октября 1917 г. в селе Дубенки Судогодского уезда Владимирской губернии (ныне – Судогодского района Владимирской области) в семье крестьянина. В 1932 г. окончил 7 классов Судогодской средней школы и поступил во Владимирскую школу «Дорстройуч», которую окончил в 1934 году. Работал дорожным мастером, затем столяром в колхозе.
В 1938-1940 гг. Александр Савельев проходил срочную службу в Красной Армии. Участвовал в советско-финляндской войне 1939-1940 годов. После демобилизации вернулся на родину. Трудился слесарем на одном из заводов города Владимира.
В июле 1941 г. сержант запаса Савельев был вновь призван в армию. С июля 1942 г. он участвовал в боях с захватчиками на Западном, Сталинградском, Центральном, 3-м, 2-м Украинских и 1-м Дальневосточном фронтах.
Боевой путь А. В. Савельев начал на Сталинградском фронте. К весне 1943 г. старшина Савельев воевал в роте связи 610-го стрелкового полка 203-й стрелковой дивизии, был начальником телефонной станции. За обеспечение бесперебойной связи в боях весной 1943 г. он был награжден медалью «За боевые заслуги», а при форсировании Днепра награжден медалью «За отвагу». К осени 1944 г. младший лейтенант Савельев был парторгом стрелкового батальона того же полка. Особо отличился в боях на территории Венгрии.
В ночь на 7 ноября 1944 г. младший лейтенант Савельев с группой бойцов форсировал реку Тиса в районе населенного пункта Шаруд (Венгрия). Группа 4 часа отбивала контратаки противника и удержала захваченный на правом берегу реки небольшой плацдарм. Оставшись один, Савельев продолжал бой до подхода подкрепления. Лично уничтожил в этом бою более 30 вражеских солдат.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками младшему лейтенанту Савельеву Александру Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
День Победы А. В. Савельев встретил в Чехословакии. Затем участвовал в боевых действиях на Дальнем Востоке. После окончания войны остался в армии и проходил службу в составе Группы советских войск в Германии.
Гвардии старший лейтенант Савельев погиб 12 апреля 1949 г. при исполнении служебного долга. Похоронен вблизи города Барут (Германия).
За воинские заслуги был награжден орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, Красной Звезды, медалями, в том числе «За отвагу» и «За боевые заслуги».
В городе Судогда на здании школы № 1 установлена мемориальная доска, именем Героя названа улица. В городе Владимире на воинском мемориале на площади Победы установлена стела с его барельефом.